Download PDF by Ehrhard Behrends: Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von

By Ehrhard Behrends

ISBN-10: 3834817139

ISBN-13: 9783834817136

ISBN-10: 3834881864

ISBN-13: 9783834881861

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders extensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, used to be ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden.
Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind.
Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im textual content gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet guy - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur research gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis

Die reellen Zahlen: Motivation - Mengen - Körper - angeordnete Körper - Induktion - die ganzen und die rationalen Zahlen - Archimedesaxiom - Vollständigkeit - komplexe Zahlen - Ergänzungen
Folgen und Reihen: Folgen - Konvergenz - Cauchy-Folgen - Reihen - Ergänzungen
Metrische Räume: grundlegende Definitionen - Kompaktheit - Stetigkeit
Differentiation: Motivation - Mittelwertsätze - Satz von Taylor - Potenzreihen - spezielle Funktionen - Fundamentalsatz der Algebra - einfache Differentialgleichungen

Studierende der Mathematik, Physik und Informatik an Universitäten ab dem 1. Semester

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg+Teubner erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".

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Nun zu den Be weisen durch vollstän dige In duktion. Wie schon gesagt, ist diese Technik von gru ndlegender W ichtigkeit, entsprech end nachdrücklich ist meine Empfehlung, hie r besonders aufmerksam zu lesen. 6. k = l + ... + n = n(n 2+1 ) . k =1 Beweis 1 (z u ausftihrlich): Sei E für natürliche Zahl en n die Eigenschaft i> ~ n(n +, ) k=l 2 Anders ausged rückt: Eine natürliche Zahl n soll die Eigenschaft gcna u dann haben, wenn die zu beweisen de Fonnel für die entsprechend e Summe aus n Summan de n gilt .

So übervorsichtig ist man übli cherwe ise abe r nicht; Im Zweifelsfall ist von den nahe liegenden, bekannten inneren Kompositionen auszugehen . 2. ;" (verse he n mit den üblichen Kom posit ionen) sind Kör per. Zur Begr ündung muss m an nur das Schulwissen reaktivier en : Summen und Vielfache rationaler Zah len sind wiede r ratio nal, ebenso der Ke hrwer t einer von N ull verschiedenen rat ionalen Zah l, us w. 3. Hätten wir de n letzten Satz in der Definiti on weggelassen , so hätte man K = {O) mit 0 + 0 ;= 0 un d 0· 0 ;= 0 als Körp er erhal ten (h ier wäre wirk lich 0 neu tral bezüglich s-" , also 0 = 1).

5. 5 (Prinzip der vollständigen Induktion). Sei A eine Teilmenge von N mit Induktion (i) 1 E A, (ii) n E A impliziert n + 1 E A. ) Dann ist A = N . Beweis: Ist n E N beliebig, so gehört n (nach Definition) zu jeder induktiven Teilmenge, insbesondere zu A. Das beweist A ::J N. h. es ist A = N . 0 Vollständige Induktion muss von allen Mathematikern verinnerlicht werden, dieses Beweisprinzip muss man im Schlaf können. Wir werden es daher sehr ausführlich behandeln. Hier zunächst eine andere Formulierung: Um für eine Eigenschaft E, die für natürliche Zahlen sinnvoll formuliert werden kann, den Nachweis zu führen, dass E für alle natürlichen Zahlen richtig ist, braucht man nur zu zeigen: • E ist für 1 richtig.

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Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni Von Studenten mitentwickelt by Ehrhard Behrends


by Daniel
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