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By Otto Forster

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ISBN-13: 9783322915504

ISBN-10: 3528372249

ISBN-13: 9783528372248

Inhalt
Inhalt: Vollst?ndige Induktion - Die K?rperaxiome - Anordnungsaxiome - Folgen, Grenzwerte - Das Vollst?ndigkeitsaxiom - Quadratwurzeln - Konvergenzkriterien f?r Reihen - Die Exponentialreihe - Punktmengen - Funktionen, Stetigkeit - S?tze ?ber stetige Funktionen -Logarithmus und allgemeine Potenz - Die Exponentialfunktion im Komplexen - Trigonometrische Funktionen - Differentiation - Loka le severe. Mittelwertsatz. Konvexit?t - Numerische L?sung von Gl eichungen - Das Riemannsche necessary - Integration und Differenti ation - Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion - Gleichm??ig e Konvergenz von Funktionenfolgen - Taylor-Reihen - Fourier-Reihe n.

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D. nEIN Corollar. Die Menge In aller rationalen Zahlen ist abzählbar. § 9 Punktmengen 53 Beweis. Für jede natürliche Zahl n 2: I sind die Mengen An :={ ~: kEIN} und Bn := {- ~: kEIN} abzählbar. Nach Satz I ist deshalb auch Cn := {~: k E Z} abzählbar. Nun gilt CIl = = An UBn U Cn. Daher ist nach Satz I auch CIl abzählbar. n2:1 Satz 2. Die Menge IR aller reellen Zahlen ist überabzählbar. Beweis. Wir verwenden das sogenannte Cantorsche Diagonalverfahren. Es genügt zu zeigen, daß das Intervall )O,I[ nicht abzählbar ist.

D. =_1_=2 I 1- 2 -x . =_1_ =~ 1 3' 1 - (- 2:) 00 L ak und L bk zwei konvergente Reihen und A. E IR. ak) konvergent und k=O k=O k=O § 4 Folgen, Grenzwerte 25 es gilt 00 00 00 I (ak ± bk) = I 3k ± I bko k=O k=O k=O 00 00 IXak=XIak. k=O k=O Bemerkung. Für das Produkt zweier unendlicher Reihen gilt keine so einfache Formel, vgl. dazu § 8, Satz 3. n n Beweis. Sei c n := 1: ak und d n := 1: b k . Dann ist k=O k=O n n n I (ak + bk) = I 3k + I bk = Cn + d n k=O k=O k=O Nach Satz 3 gilt . 00 00 00 " (ak + b k ) = lim (cn + dn) = lim Cn + lim dn = I ak + I bk· ~ 0+00 0+00 0+00 k=O k=O k=O Die anderen Formeln werden analog auf die Corollare 1 und 2 von Satz 4 zurückgeführt.

Jeder b-adische Bruch stellt eine Cauchy-Folge dar, konvergiert also gegen eine reelle Zahl. 00 Beweis. Es genügt, einen nicht-negativen b-adischen Bruch L an b - n zu n=-k betrachten. L n Für n ~ -k sei xn := avb- v . v=-k Wir haben zu zeigen, daß die Folge (xn)n ~ -k eine Cauchy-Folge ist. Sei n ~ m ~ - k. Dann gilt IXn -xml = n v=m+1 < (b - l)b- m -I - L n _ _1__ 1-b- 1 v=m+1 =b- m < Damit ist die Behauptung bewiesen. L n-m-l (b-1)b- v :S;(b-l)b- m - 1 v=O € ' falls m hinreichend groß. b- v 30 § 5 Das Vollständigkeitsaxiom Satz 3.

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by Jason
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